IBX5980432E7F390 Trigonometri: Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut - Tri Khidayanti

Trigonometri: Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Tri Khidayanti - Di kelas X dulu kita telah mempelajari bagaimana menghitung jarak dari dua titik yang diketahui pada bidang datar. Jika diketahui dua titik P ( x1 , y1 ) dan Q( x2 , y2 ) pada bidang datar, maka kuadrat jarak antara dua titik P dan Q adalah
PQ 2 = ( x1 x2 ) 2 + ( y1 y2 )2
Sekarang kita ambil titik P dan Q pada lingkaran yang berjari-jari 1 dan berpusat di O, lihat gambar di bawah. Jika XOP = b dan XOQ = a , maka koordinat P dan Q adalah P (cos b, sin b) dan Q(cos a, sin a), ingat definisi sinus dan kosinus. Oleh karena itu dengan rumus sebelumnya di atas kita peroleh

Di pihak lain, dengan menggunakan rumus kosinus dalam segitiga POQ kita peroleh:
Karena ruas kiri dari (3.2) dan (3.3) sama, maka kita simpulkan bahwa:
2 – 2 cos (a − b) = 2 − 2(cos a cos b + sin a sin b)
-2 cos (a – b) = 2 – 2 – 2(cos a cos b + sin a sin b)
-2 cos (a – b) = -2 (cos a cos b + sin a sin b)
Cos (a – b) = -2 (cos a cos b + sin a sin b)/ -2
Cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b ......................(3.4)

Jika kita ambil a = 90 = π/2 , maka (3.4) menjadi:

cos(π/2 − b) = cos(π/2) cos b + sin(π/2) sin b = sin b

Dari hasil ini, jika b kita ganti dengan π/2 − b, maka

cos b = sin(π/2 − b)

Jadi, untuk sembarang sudut a kita mempunyai identitas

sin(π/2 − a) = cos a  dan cos(π/2 − a) = sin a...............(3.5)

Jika dalam rumus (3.4) b kita ganti dengan –b, dan karena cos(−b) = cos b, maka kita peroleh:
cos(a −(− b)) = cos(a + b) = cos a cos(− b) + sin a sin(−b)
cos(a −(− b)) = cos a cos b − sin a sin b
atau

cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b........................(3.6)

Jika dalam rumus (3.4) a kita ganti dengan π/2 − a, maka kita peroleh

cos((π/2 − a) − b) = cos(π/2 − a) cos b + sin(π/2 − a )sin b

Dengan (3.5),
Baca juga : Trigonometri: Ukuran Sudut (Derajat dan Radian)

cos((π/2 − a) − b) = cos(π/2 − (a + b)) = sin(a + b),
cos(π/2 − a) = sin a
sin(π/2 − a) = cos a,

maka dengan (3.4) kita peroleh:

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b...............(3.7)

Jika dalam rumus (3.7) b kita ganti dengan –b, maka kita peroleh

sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b.............(3.8)

Dari rumus (3.6) dan (3.7) kita peroleh

tan(a + b) = sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b 
                    cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b

Jika pembilang dan penyebut dari ruas kanan kita bagi dengan cos a cos b , maka kita peroleh

tan(a + b) = tan a + tan b/(1 − tan a tan b).................(3.9)

Jika dalam rumus (3.9) b kita ganti dengan –b, maka kita peroleh
Baca juga : Trigonometri : Pembuktian Sudut Rangkap

tan(a − b) = tan a − tan b/(1 + tan a tan b)......................(3.10)

Demikian materi trigonometri tentang rumus jumlah dan selisih dua sudut. Semoga materi sederhana ini dapat membantu dan memberikan manfaat untuk kita semua.

Berlangganan Untuk Mendapatkan Artikel Terbaru:

0 Komentar Untuk "Trigonometri: Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut"

Post a Comment

Mari budayakan untuk berkomentar!!