IBX5980432E7F390 Trigonometri : Pembuktian Sudut Rangkap - Tri Khidayanti

Trigonometri : Pembuktian Sudut Rangkap




Pembuktian Sudut rangkap
Pembuktian beberapa sudut rangkap yang ada di dalam materi Trigonometri:
1. Sudut Rangkap Sinus
Sin 2α = 2 sin α cos α

Bukti:

Ingat sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Jika α = β

Maka sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α

sin 2α = sin α cos α + cos α sin α     (karena perkalian bersifat komutatif)

sin 2α = sin α cos α + sin α cos α

sin 2α = 2 sin α cos α (Terbukti) 

2. Sudut Rangkap Cosinus
a. Bentuk Pertama

Cos 2α = (cos α)2 – (sin α)2

Bukti

Ingat : cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Jika α = β

Maka cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α

Cos 2α = (cos α)2 – (sin α)2 (karena perkalian suku yang sama)


b. Bentuk Kedua

Cos 2α = 1 – 2(sin α)2

Bukti

Ingat : cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Jika α = β


Maka cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α (karena perkalian yang sama)

Cos 2α = (cos α)2 – (sin α)2

Ingat :

(cos α)2 +(sin α)2 = 1

(cos α)2 = 1 - (sin α)2 .... (i)


Substitusikan persamaan (i)

Cos 2α = [1 - (sin α)2] – (sin α)2

Cos 2α = 1 - (sin α)2 – (sin α)2

Cos 2α = 1 - 2(sin α)2 (Terbukti)
Baca juga : Trigonometri: Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut


c. Bentuk Ketiga

Cos 2α = 2(cos α)2 – 1

Bukti

Ingat : cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Jika α = β


Maka cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α (karena perkalian yang sama)

Cos 2α = (cos α)2 – (sin α)2

Ingat :

(cos α)2 +(sin α)2 = 1

(sin α)2 = 1 - (cos α)2 .... (ii)


Substitusikan persamaan (ii)

Cos 2α = (cos α)2 – [1 - (cos α)2]

Cos 2α = (cos α)2 – 1 +(cos α)2

Cos 2α = (cos α)2 +(cos α)2 – 1

Cos 2α = 2(cos α)2 – 1(Terbukti)

Baca juga: Trigonometri: Ukuran Sudut (Derajat dan Radian)

     3. Sudut Rangkap Tangen

Tan 2α  = 2 tan α ÷[1 – (tan α)2]

Bukti:
Ingat tan (α + β) = (tan α + tan β) ÷ (1 – tan α tan β)

Jika α = β

Maka tan (α + α) = (tan α + tan α)÷ (1 – tan α tan α)

tan 2α = 2 tan α ÷[1 – (tan α)2]  (Terbukti)

Semoga bermanfaat!
Salam Matematika

Berlangganan Untuk Mendapatkan Artikel Terbaru:

2 Komentar Untuk "Trigonometri : Pembuktian Sudut Rangkap"

  1. (y)
    Suka dengan batik trigonometrinya dan mohon izin mengunduh.
    Pembahasannya juga Ok.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Terima kasih atas kunjungannya Pak Adem
      Silakan diunduh, Pak.

      Delete

Mari budayakan untuk berkomentar!!